پاسخ فعالیت صفحه 98 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۹۸ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت به کشف **روابط مثلثاتی زوایای متمم** (Complementary Angles) می‌پردازد. در مثلث قائم‌الزاویه $\triangle ABC$ (قائم در $A$)، زاویه‌های $\theta$ و $\frac{\pi}{۲} - \theta$ (یا $۹۰^{\circ} - \theta$) **متمم** یکدیگرند. 📐 ### ۱. تکمیل ستون اول (نسبت‌های $\theta$) در مثلث قائم‌الزاویه، ضلع **روبرو** به $B$ (یعنی $AC$) برابر با $b$، ضلع **مجاور** به $B$ (یعنی $AB$) برابر با $c$، و **وتر** ($BC$) برابر با $a$ است. * $\sin \theta = \frac{\text{روبرو}}{\text{وتر}} = \frac{b}{a}$ (داده شده) * $\cos \theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} = \mathbf{\frac{c}{a}}$ * $\tan \theta = \frac{\text{روبرو}}{\text{مجاور}} = \mathbf{\frac{b}{c}}$ * $\cot \theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{روبرو}} = \mathbf{\frac{c}{b}}$ ### ۲. تکمیل ستون دوم (نسبت‌های $\frac{\pi}{۲} - \theta$) ضلع روبرو به زاویه $\frac{\pi}{۲} - \theta$ (زاویه $C$) برابر با $c$ و ضلع مجاور آن برابر با $b$ است. * $\sin (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \frac{\text{روبرو}}{\text{وتر}} = \frac{c}{a}$ (داده شده) * $\cos (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} = \mathbf{\frac{b}{a}}$ * $\tan (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \frac{\text{روبرو}}{\text{مجاور}} = \mathbf{\frac{c}{b}}$ * $\cot (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \frac{\text{مجاور}}{\text{روبرو}} = \mathbf{\frac{b}{c}}$ ### ۳. نظیر کردن مقادیر مساوی (روابط زوایای متمم) | $\sin \theta = \frac{b}{a}$ | $\cos (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \frac{b}{a}$ | | :---: | :---: | | $\cos \theta = \frac{c}{a}$ | $\sin (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \frac{c}{a}$ | | $\tan \theta = \frac{b}{c}$ | $\cot (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \frac{b}{c}$ | | $\cot \theta = \frac{c}{b}$ | $\tan (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \frac{c}{b}$ | **نتیجه‌گیری (روابط متممی)**: $$\mathbf{\sin (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \cos \theta}$$ $$\mathbf{\cos (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \sin \theta}$$ $$\mathbf{\tan (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \cot \theta}$$ $$\mathbf{\cot (\frac{\pi}{۲} - \theta) = \tan \theta}$$